不用c+v和c-v也能得到时间膨胀公式

当给普通听众讲相对论的时候,很多人都用一个直角三角形来得出时间膨胀公式。

如上图所示,有两个参考系,一个是“静止的”,另一个以速度v相对于它在运动。在运动参考系中,有一个光钟。光钟具有两个平行于运动方向的反射面,它们之间的距离为d。一束光在两个反射面之间来回反射,从而实现定时。

从运动参考系(光钟所在的参考系)看,光束单程经过的距离就是d,(我们再假定)所需的时间为t。

当从“静止”参考系看时,情况就不一样了。在光束向另一个反射面行进的同时,目标反射面也在随着运动参照系在向右运动, 所以光束需要走更长的距离才能到达目标。

利用一点儿几何知识,我们可以得到 (ct')2=(vt')2+(ct)2。 对此稍加变换,就可以得出时间膨胀公式:

因为此处并没有用到c+v和c-v,所以我们就避免了相对论的自相矛盾,是吧?

不!

如果你有时间看一下爱因斯坦的相对论论文,你就知道相对论中根本没有这样的三角形。虽然我们得到的公式与时间膨胀公式一样,但我们的公式很可能与相对论并无任何关系。

你什么时候看过一个从你头顶飞过的飞机上的表?这个想法太怪了,我猜根本没人尝试过。

根据相对论,在运动方向上的长度是要收缩的。在图示的三角形中,沿v方向的长度收缩了,而垂直方向上的长度则保持原样。所以我们根本没法使用勾股定理。

同样,在相对论的时空概念中,对于c+v和c-v的推导没有任何意义。 因为如果一段距离收缩了a倍,而另一段距离收缩了b倍,我们不知道该如何把它们两个加起来。